1Deljivost
V preglednici obkroži pravilna odgovora.
Število 987654 je deljivo:
💡 Namigi za deljivost:
Deljivost z 2: Število je deljivo z 2, če se končuje na sodo števko (0, 2, 4, 6, 8)
Deljivost s 3: Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s 3
Deljivost s 4: Število je deljivo s 4, če so zadnje dve števki deljive s 4
Deljivost s 5: Število je deljivo s 5, če se končuje na 0 ali 5
Deljivost s 6: Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3
Deljivost z 8: Število je deljivo z 8, če so zadnje tri števke deljive z 8
Deljivost z 9: Število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9
Deljivost z 10: Število je deljivo z 10, če se končuje na 0
Deljivost s 25: Število je deljivo s 25, če se končuje na 00, 25, 50 ali 75
Rešitev za število 987654:
s 2 → DA (končuje se na 4, ki je sodo število)
s 3 → DA (vsota števk = 9+8+7+6+5+4 = 39, ki je deljiva s 3)
s 4 → NE (zadnji dve števki = 54, 54÷4 = 13,5)
s 5 → NE (ne končuje se na 0 ali 5)
s 6 → DA (deljivo z 2 in z 3)
s 8 → NE (zadnje tri števke = 654, 654÷8 = 81,75)
s 9 → DA (vsota števk = 39, ki je deljiva z 9)
s 10 → NE (ne končuje se na 0)
s 25 → NE (zadnji dve števki = 54, kar ni deljivo s 25)
2Ostanek pri deljenju
Poišči najmanjše štirimestno naravno število, ki pri deljenju z 23 da ostanek 11.
💡 Namig za ostanek pri deljenju:
Iščemo število oblike: 23 × k + 11, kjer je k naravno število
To število mora biti vsaj 1000 (najmanjše štirimestno število)
Torej: 23 × k + 11 ≥ 1000
Reši enačbo: 23 × k ≥ 1000 – 11
Potem izračunaj: k ≥ (1000 – 11) ÷ 23
Rešitev:
Najmanjše štirimestno število je 1000.
Poiščemo število oblike 23k + 11 ≥ 1000.
1000 – 11 = 989
989 ÷ 23 = 43
Torej najmanjše je 23 × 43 + 11 = 1000
3Razmerje
Denarnica vsebuje kovance za skupaj 96 €. V njej so kovanci za 2 €, 1 € in 50 centov v razmerju 3 : 5 : 10.
Koliko kovancev posamezne vrednosti je v denarnici?
💡 Namig za razmerje:
Razmerje 3 : 5 : 10 pomeni, da imamo:
• 3k kovancev za 2 € (vrednost = 3k × 2 = 6k €)
• 5k kovancev za 1 € (vrednost = 5k × 1 = 5k €)
• 10k kovancev za 0,5 € (vrednost = 10k × 0,5 = 5k €)
Skupna vrednost = 6k + 5k + 5k = 16k €
Ker je skupna vrednost 96 €, velja: 16k = 96
Torej k = 96 ÷ 16 = ?
Rešitev:
Naj bo faktor k. Razmerje je dano za število kovancev.
Kovanci za 2 €: 3k → vrednost = 6k
Kovanci za 1 €: 5k → vrednost = 5k
Kovanci za 0,5 €: 10k → vrednost = 5k
Skupna vrednost = 6k + 5k + 5k = 16k
Enačba: 16k = 96 → k = 6
Odgovor: 18, 30, 60
4Razcep na praštevila
Razcepi število 504 na praštevila in zapiši rezultat v obliki potenc.
💡 Namig za razcep na praštevila:
Začni z najmanjšim praštevilom (2) in deli, dokler se da:
504 ÷ 2 = 252
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
Sedaj poskusi z naslednjim praštevilom (3):
63 ÷ 3 = ?
Nadaljuj, dokler ne dobiš samih praštevil.
Rešitev:
504 ÷ 2 = 252
252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 je praštevilo
504 = 2³ × 3² × 7
5Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik
Za števili 48 in 72 poišči:
💡 Namig za NSD in NSV:
Najprej razcepi obe števili na praštevila:
48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²
NSD: Vzemi najmanjše potence skupnih praštevilskih faktorjev
NSV: Vzemi največje potence vseh praštevilskih faktorjev
Ali pa uporabi pravilo: NSD × NSV = 48 × 72
Rešitev:
48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²
NSD(48, 72) = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24
NSV(48, 72) = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Preverjanje: 24 × 144 = 3456 = 48 × 72 ✓
6Praštevila in sestavljena števila
Določi, ali so naslednja števila praštevila ali sestavljena števila:
💡 Namig za praštevila:
Praštevilo ima natanko dva delitelja: 1 in samo sebe.
Za preverjanje deli število z vsemi praštevili do √n:
• Za 97: √97 ≈ 9,8, torej preveri delitev z 2, 3, 5, 7
• Za 91: √91 ≈ 9,5, torej preveri delitev z 2, 3, 5, 7
• Za 83: √83 ≈ 9,1, torej preveri delitev z 2, 3, 5, 7
Rešitev:
97: Praštevilo (ni deljivo z 2, 3, 5, 7)
91: Sestavljeno število (91 = 7 × 13)
83: Praštevilo (ni deljivo z 2, 3, 5, 7)
7Popolni kvadrati
Reši naslednje naloge o popolnih kvadratih:
💡 Namig za popolne kvadrate:
Popolni kvadrat je število, ki ga dobimo, ko naravno število pomnožimo samo s sabo.
• √144: Katero število, pomnoženo samo s sabo, da 144?
• √289: Poskusi s števili okoli 17
• 15²: 15 × 15 = ?
• 169 = 13², torej naslednji je 14² = ?
Rešitev:
√144 = 12 (ker 12² = 144)
√289 = 17 (ker 17² = 289)
15² = 225
169 = 13², naslednji je 14² = 196
8Številska zaporedja
Poišči naslednja dva člena v zaporedju in določi pravilo:
Zaporedje: 3, 7, 15, 31, 63, __, __
💡 Namig za zaporedje:
Poglej razlike med zaporednimi členi:
7 – 3 = 4
15 – 7 = 8
31 – 15 = 16
63 – 31 = 32
Opazuješ vzorec v razlikah? 4, 8, 16, 32, … (potence števila 2)
Ali pa poglej: 3 = 2² – 1, 7 = 2³ – 1, 15 = 2⁴ – 1, …
Rešitev:
Razlike: 4, 8, 16, 32, 64, 128, …
6. člen: 63 + 64 = 127
7. člen: 127 + 128 = 255
Pravilo: n-ti člen = 2^(n+1) – 1
Preverjanje: 2² – 1 = 3, 2³ – 1 = 7, 2⁴ – 1 = 15, …
9Besedilna naloga
V šoli organizirajo izlet. Učenci se lahko vozijo z avtobusi, ki imajo 45 sedežev, ali z minibusi, ki imajo 12 sedežev. Če se za izlet prijavi 156 učencev, koliko vozil potrebujejo, da bodo vsi učenci imeli sedež?
💡 Namig za besedilno nalogo:
Skupaj je 156 učencev.
Samo avtobusi: 156 ÷ 45 = ? (zaokroži navzgor)
Samo minibusi: 156 ÷ 12 = ? (zaokroži navzgor)
Kombinacija: 3 avtobusi = 3 × 45 = 135 sedežev
Ostane: 156 – 135 = 21 učencev
Za 21 učencev potrebuješ: 21 ÷ 12 = ? minibusov (zaokroži navzgor)
Rešitev:
Samo z avtobusi: 156 ÷ 45 = 3,47 → 4 avtobusi
Samo z minibusi: 156 ÷ 12 = 13 minibusov
Kombinacija: 3 avtobusi (135 sedežev) + 2 minibusa (24 sedežev) = 159 sedežev
Potrebujejo 2 minibusa za preostalih 21 učencev.
10Zahtevnejša naloga
Poišči vsa tromestna števila, ki so hkrati popolni kvadrati in deljiva s 3. Koliko takih števil je?
💡 Namig za zahtevnejšo nalogo:
Tromestna števila: od 100 do 999
Popolni kvadrati v tem območju: 10² = 100 do 31² = 961
Torej preveri kvadrate: 10², 11², 12², …, 31²
Kateri od teh so deljivi s 3?
Namig: n² je deljiv s 3 ⟺ n je deljiv s 3
Torej išči n = 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
Rešitev:
Tromestni popolni kvadrati deljivi s 3:
12² = 144, 15² = 225, 18² = 324, 21² = 441, 24² = 576, 27² = 729, 30² = 900
Najmanjše: 144
Največje: 900
Skupno: 7 števil